可解群
| 可解群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 可解群 |
| 英语名称 | solvable group |
| 可解 | |
|---|---|
| 术语名称 | 可解 |
| 英语名称 | solvable |
| 可解性 | |
|---|---|
| 术语名称 | 可解性 |
| 英语名称 | solvability |
可解群(solvable group)指一个群的导列下降至平凡群。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，若其导列终止于平凡群，即 [math]\displaystyle{ G \supseteq G^{(1)} \subseteq G^{(2)} \subseteq G^{(3)} \subseteq \cdots \subseteq G^{(n)} = \{e_G\} }[/math] ，则称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是可解群(solvable group)。也说群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是可解的(solvable)或群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 满足可解性(solvability)。
性质
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 以下条件等价：
- [math]\displaystyle{ G }[/math] 可解。
- 存在 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的循环列下降到平凡群。即存在一个子群列，所有的子群都是循环群，且最后一个子群是平凡子群。
- 存在 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的交换列下降到平凡群。即存在一个子群列，所有的子群都是交换群，且最后一个子群是平凡子群。
- [math]\displaystyle{ G }[/math] 的复合因子都是循环群。
- 对任意正规子群 [math]\displaystyle{ H\unlhd G }[/math] ，子群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 和商群 [math]\displaystyle{ G/H }[/math] 都是可解群。
| 有限群理论 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 子群存在性 | ||||||
| 特殊阶数群 | [math]\displaystyle{ p }[/math]-群 | [math]\displaystyle{ pq }[/math]-群 | ||||
| 特殊阶数子群 | 类方程 | Cauchy 定理 | Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群 | Sylow 第二定理 | Sylow 第三定理 | |
| 由单群合成 | ||||||
| 逐层构造 | 次正规列、正规列、因子 | 单群、合成列 | ||||
| Zassenhaus 引理 | Schreier 细化定理 | Jordan–Hölder 定理 | ||||
| 组合方式 | 群正合列 | 群直积（群内直积）、群半直积 | 群短正合列 | 群扩张 | ||
| 交换的对称性 | ||||||
| 交换性成分 | 换位子、导群 | 导列 | 可解群 | |||