| 逆序
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| 术语名称
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逆序
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| 英语名称
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inversion
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| 逆序数
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| 术语名称
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逆序数
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| 英语名称
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number of inversions
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| 奇排列
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| 术语名称
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奇排列
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| 英语名称
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odd permutation
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| 偶排列
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| 术语名称
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偶排列
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| 英语名称
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even permutation
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排列的奇偶性(parity)表示一个排列拆成对换的数目的奇偶性，在排列的复合下表现与整数奇偶性在加法下的表现一致。
也称为符号(sign)，因为在排列的复合下表现也与整数环单位群 [math]\displaystyle{ \{\pm1\} }[/math] 在乘法下的表现相似。
奇偶性也可以被定义为逆序数(number of inversions)的奇偶性，即其中逆序(inversion)的数目。而逆序即指这个排列中每两个不同元素在排列前后，相对顺序是否有改变。
定理
任意排列可分解为对换的复合。这一分解不唯一，但同一排列不可能既能够分解为奇数个对换又能够偶数个对换。
定义
| 符号
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| 运算名称
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符号
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| 运算符号
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[math]\displaystyle{ (-1)^\bullet,\operatorname{sgn}(\bullet) }[/math]
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| Latex
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(-1)^, \operatorname{sgn}()
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| 运算对象
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排列
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| 运算元数
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2
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| 运算结果
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符号群
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| 定义域
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[math]\displaystyle{ S_n }[/math]
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| 陪域
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[math]\displaystyle{ \{\pm1\} }[/math]
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对排列 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，称其分解为对换个数的奇偶性为排列的奇偶性(parity)。若一个排列只能分解为奇数个对换的复合，称其为奇排列(odd permutation)，若只能分解为偶数个对换的复合，称其为偶排列(even permutation)。同时记对应奇偶性的次数下 [math]\displaystyle{ -1 }[/math] 的幂为排列的符号(sign)，记作 [math]\displaystyle{ (-1)^\sigma }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \operatorname{sgn}(\sigma) }[/math] 。
等价定义
对 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的排列 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，对任意 [math]\displaystyle{ 1 \leq i \lt j \leq n }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \sigma(i)\gt \sigma(j) }[/math] ，则称 [math]\displaystyle{ i,j }[/math] 是一对逆序(inversion)，全部元素中逆序的数目称为逆序数(numbers of inversion)，将排列逆序数的奇偶性称为排列的奇偶性(parity)，并将 [math]\displaystyle{ -1 }[/math] 的逆序数次幂称为排列的符号(sign)。
性质
奇偶性是对称群到符号群的一个群同态， [math]\displaystyle{ \operatorname{sgn}: S_n\to \{-1,1\} }[/math] 。
