奇偶性（排列）

逆序
术语名称	逆序
英语名称	inversion

逆序数
术语名称	逆序数
英语名称	number of inversions

符号
术语名称	符号
英语名称	sign

奇偶性
术语名称	奇偶性
英语名称	parity

奇排列
术语名称	奇排列
英语名称	odd permutation

偶排列
术语名称	偶排列
英语名称	even permutation

排列的奇偶性(parity)表示一个排列拆成对换的数目的奇偶性，在排列的复合下表现与整数奇偶性在加法下的表现一致。 也称为符号(sign)，因为在排列的复合下表现也与整数环单位群 [math]\displaystyle{ \{\pm1\} }[/math] 在乘法下的表现相似。

奇偶性也可以被定义为逆序数(number of inversions)的奇偶性，即其中逆序(inversion)的数目。而逆序即指这个排列中每两个不同元素在排列前后，相对顺序是否有改变。

定理

任意排列可分解为对换的复合。这一分解不唯一，但同一排列不可能既能够分解为奇数个对换又能够偶数个对换。

定义

符号
运算名称	符号
运算符号	[math]\displaystyle{ (-1)^\bullet,\operatorname{sgn}(\bullet) }[/math]
Latex	(-1)^ , \operatorname{sgn}()
运算对象	排列
运算元数	2
运算结果	符号群
定义域	[math]\displaystyle{ S_n }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \{\pm1\} }[/math]

对排列 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，称其分解为对换个数的奇偶性为排列的奇偶性(parity)。若一个排列只能分解为奇数个对换的复合，称其为奇排列(odd permutation)，若只能分解为偶数个对换的复合，称其为偶排列(even permutation)。同时记对应奇偶性的次数下 [math]\displaystyle{ -1 }[/math] 的幂为排列的符号(sign)，记作 [math]\displaystyle{ (-1)^\sigma }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \operatorname{sgn}(\sigma) }[/math] 。

等价定义

对 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的排列 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，对任意 [math]\displaystyle{ 1 \leq i \lt j \leq n }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \sigma(i)\gt \sigma(j) }[/math] ，则称 [math]\displaystyle{ i,j }[/math] 是一对逆序(inversion)，全部元素中逆序的数目称为逆序数(numbers of inversion)，将排列逆序数的奇偶性称为排列的奇偶性(parity)，并将 [math]\displaystyle{ -1 }[/math] 的逆序数次幂称为排列的符号(sign)。

性质

奇偶性是对称群到符号群的一个群同态， [math]\displaystyle{ \operatorname{sgn}: S_n\to \{-1,1\} }[/math] 。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群