饱和（模型）
| 饱和性 | |
|---|---|
| 术语名称 | 饱和性 |
| 英语名称 | saturation |
| 饱和的 | |
|---|---|
| 术语名称 | 饱和的 |
| 英语名称 | saturated |
[math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-饱和([math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-saturated)指一个模型实现任意严格小于基数 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] 的子集上的完备型。或者说对任意足够小的参数集，参考这些参数与论域中任意个元素共同满足的一阶公式，都能够在论域中找到符合这些参数特征的个体对象；只要写出的一组相容公式中只有少于这个基数的参数，就可以找到一些个体对象满足这些参数所刻画的一阶条件。
定义
对一阶形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}=(A,I) }[/math] ，若对任意子集 [math]\displaystyle{ X\subseteq A }[/math] 且 [math]\displaystyle{ \operatorname{card}A\lt \kappa }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 实现 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的全部完备型，则称模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-饱和的([math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-saturated)。
举例
有理数序不是 [math]\displaystyle{ \aleph_1 }[/math]-饱和的。取公式集 [math]\displaystyle{ \{0\lt x\}\cup\{x\lt \tfrac{1}{n}|n\in\mathbb{N}^*\} }[/math] ，其任意有限子集在有理数中可满足，但这个基数为 [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] 的集合不被满足，因此这一公式集是有理数上的一个 1-型，但是并没有被有理数实现。
性质
由于型被添加元素的初等扩张保持，总是有办法构造一个从模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 通过某个无穷集合 [math]\displaystyle{ C }[/math] 构造出一个新模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 使这一型模型是 [math]\displaystyle{ (\operatorname{card}C)^+ }[/math]-饱和的。其中 [math]\displaystyle{ (\operatorname{card}C)^+ }[/math] 表示第一个大于 [math]\displaystyle{ \operatorname{card}C }[/math] 的基数。这一命题需要良定义下一个基数，且需要无穷集合有任意顺序构成的初等链的极限且假设初等链有极大元，这两处都需要承认选择公理或良序公理。
| 模型论 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 研究对象 | 理论和模型 | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] | |
| 刻画性质 | 语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性 | 签名、基数（有限、无穷） | ||
| 相互关系 | 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ） | 理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 | ||
| 模型间的关系 | ||||
| 同构 | 同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math] | |||
| 子模型相关 | 子模型（子结构）、扩张 | 模型链 | 同构嵌入 | |
| 初等子模型相关 | 初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] | 初等链、初等链的极限 | 初等嵌入 | |
| 初等等价 | 初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] | |||
| 相关定理 | Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试 | |||
| 图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]） | ||||
| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题 | ||||
| 刻画 | Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性 | |||
| 应用 | 模型分类 | 标准模型、非标准模型 | ||
| 定理 | （Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试 | |||
| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论 | ||||
| 模型完备性 | 理论的模型完备性 | 理论的子模型完备性 | 理论的模型完备化 | |