基数

势
术语名称	势
英语名称	cardinality
别名	基数

基数
术语名称	基数
英语名称	cardinal number
别名	cardinal

势(cardinality)表示集合所包含元素的个数。尽管形容为“个数”，势的可能取值是自然数的推广。

基数(cardinal number, 简称cardinal)指势的可能取值，用自然数（有限基数）衡量有限集合的大小，用其他基数（超限基数）衡量无限集合中的“无穷”的大小。区别于序数。

记号

基数
运算名称	基数
运算符号	[math]\displaystyle{ |\bullet| }[/math],[math]\displaystyle{ \mathrm{card} \bullet }[/math]
Latex	\vert\vert , \mathrm{card}
运算对象	集合
运算元数	1
运算结果	基数

集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素个数的度量称为基数或势(cardinality)，一般被记作 [math]\displaystyle{ |A| }[/math]，也记作 [math]\displaystyle{ \mathrm{card} A }[/math]。偶尔也有人记作 [math]\displaystyle{ \# A }[/math]。

等势
关系名称	等势
关系符号
Latex
关系对象	集合
关系元数	2

两集合间有相等的基数或势，称为集合等势(have the same cardinality)。

表示集合基数的数称为基数(cardinal number, cardinal)。

取值

比较规则

集合等势，当且仅当集合间存在一个双射。可通过数学归纳法证明，如此定义下，同一集合的基数是唯一的。

集合的基数有小于关系，当且仅当，集合存在一个单射，且同时不存在双射。

自然数基数和超限基数

对元素个数有限的集合，通过选择，总是能和 [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \dots, n \} }[/math] （n为自然数）建立一个双射，因此其基数就是其元素个数，是一个自然数。

对元素个数无限的集合，通过能否建立单射和双射能比较集合元素的多少。定义 [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] 为不能用自然数表达的最小的集合的势的可能取值，也就是自然数集合本身；[math]\displaystyle{ \aleph_n }[/math] 为不能用自然数和 [math]\displaystyle{ \aleph_0,\dots,\aleph_{n-1} }[/math] 表达的最小的集合的势的可能取值。这些超过自然数代表的有限基数(finite cardinals)的基数统称为超限基数(transfinite cardinals)。

因此，集合的势的可能取值构成一个超限序列：

[math]\displaystyle{ 0, 1, 2, 3, \dots, n, \dots ; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \dots, \aleph_\alpha, \dots }[/math]

基数算术

• 对有限集 [math]\displaystyle{ X }[/math] ， [math]\displaystyle{ \operatorname{card} (X \cup \{x\}) = \operatorname{card} X + 1 }[/math] 。
• 对有限集 [math]\displaystyle{ X }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Y }[/math] ， [math]\displaystyle{ X \cup Y }[/math] 必有限，且 [math]\displaystyle{ \operatorname{card} (X \cup Y) \leq \operatorname{card} X + \operatorname{card} Y }[/math] 。
  • （容斥原理） [math]\displaystyle{ \operatorname{card} (X \cup Y) = \operatorname{card} X + \operatorname{card} Y - \operatorname{card}(X \cap Y) }[/math] 。
    • 若 [math]\displaystyle{ X }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 不相交，则 [math]\displaystyle{ \operatorname{card} (X \cup Y) = \operatorname{card} X + \operatorname{card} Y }[/math]。
• 对有限集 [math]\displaystyle{ X }[/math] ， [math]\displaystyle{ Y \subseteq X }[/math] ， [math]\displaystyle{ Y }[/math] 必有限，且 [math]\displaystyle{ \operatorname{card} Y \leq \operatorname{card} X }[/math]。
  • 因为 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 到 [math]\displaystyle{ X }[/math] 的包含映射是单射。
  • 在此基础上，若 [math]\displaystyle{ Y \neq X }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ Y \subset X }[/math] ， 则有 [math]\displaystyle{ \operatorname{card} Y \lt \operatorname{card} X }[/math]。
• 对有限集 [math]\displaystyle{ X }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Y }[/math] ， [math]\displaystyle{ X \times Y }[/math] 必有限，且 [math]\displaystyle{ \operatorname{card} (X \times Y) \leq \operatorname{card} X \cdot \operatorname{card} Y }[/math] 。
• 对有限集 [math]\displaystyle{ X }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Y }[/math] ， [math]\displaystyle{ X^Y }[/math] 必有限，且 [math]\displaystyle{ \operatorname{card} (X ^ Y) \leq \operatorname{card} X ^ { \operatorname{card} Y } }[/math] 。

特殊基数

元素个数为0当且仅当集合是空集，基数为0。

元素个数为1的集合，基数为1，称为单元素集或单点集。

元素个数有限的集合，基数是自然数，称为有限集(finite set)。

元素个数无限的集合称为无限集(infinite set)。

自然数集，或可列集的势为 ℵ₀ 。

自然数集与实数集的基数

实数，可以通过对角线证明证明实数比自然数多，一般记作 [math]\displaystyle{ \mathfrak{c} }[/math]，且[math]\displaystyle{ \mathfrak{c}=2^{\aleph_0} }[/math]，连续统假设即不存在自然数集（可列集）基数和实数集基数之间的基数，此时即 [math]\displaystyle{ \aleph_1 }[/math] ，但目前已证明连续统假设与集合论公理系统彼此独立，不可能在这一框架中被证明或证伪。

集合
特殊集合	空集[math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于[math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集[math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集[math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系[math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集[math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集[math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集[math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集[math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集[math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积[math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet)/2^\bullet }[/math]、映射的集合[math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不交并[math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集[math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]

数系
自然数	整数	有理数	规矩数	代数数	……
实数	复数	四元数	八元数	……
扩展自然数	扩展实数	扩展复数	……
基数	序数	……