理论

理论
术语名称	理论
英语名称	theory
别名	形式理论, formal theory

演绎理论
术语名称	演绎理论
英语名称	deductive theory
别名	closed theory

本条目没有一致可信的中文译名。

理论(theory)或形式理论(formal theory)指形式化公理系统中的一个公式集（也表述为语句集）。形式化公理系统中的公理集合本身可以看成一个理论。 理论也作为演绎理论(deductive theory)的简称。一个对可演绎关系封闭的理论，也就是说，从一个公理集出发，按照给定推理规则，能证明的全体定理（包含公理本身）所构成的公式集，或者说公式集在可演绎关系下的闭包，称为演绎理论，也常简称理论(theory)。

请注意，本文的内容“理论”是“形式理论”，而不指代“科学理论”或其他日常的理论意义。

请注意，这几个术语在中文中只能翻译为“理论”“形式理论”“演绎理论”，但是这三个词语在中文语境中默认被解释成其他含义，在讨论对象不明确时，可能发生沟通错误。

理论也以具体语言命名。在谓词语言（一阶语言）本身公理的基础上，带有一个额外理论作为公理的系统也是推理系统，此时这些推理系统的全体定理的集合，或者公理在推理规则下能证明的全体公式的集合也分别被称为一阶理论(first-order theory)，以此类推。

举例

• Peano 公理是一个一阶理论。
• 公理集合论的各种理论都是一阶理论。如 ZF 公理系统。
• 常见代数系统的刻画都是一阶理论。如群、环、域等。

模型论
研究对象	理论和模型	形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math]		形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math]
	刻画性质	语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性		签名、基数（有限、无穷）
	相互关系	模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ）		理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型
模型间的关系
同构		同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math]
子模型相关		子模型（子结构）、扩张	模型链	同构嵌入
初等子模型相关		初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math]	初等链、初等链的极限	初等嵌入
初等等价		初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math]
相关定理		Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试
		图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]）
理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题
刻画		Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性
应用	模型分类	标准模型、非标准模型
	定理	（Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试
理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论
模型完备性		理论的模型完备性	理论的子模型完备性	理论的模型完备化