严格全序

严格全序
术语名称	严格全序
英语名称	strict total order

严格全序(strict total order)，指集合上的一个二元关系是拟序，且同时对任意两个不同元素总有一种排列使其有关系。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \lt }[/math] ，如果是一个拟序、且有完全性，即满足：

反自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (\lnot(a \lt a)) }[/math]
传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \lt b \land b \lt c \rightarrow a \lt c) }[/math]
不对称性：[math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \lt b \rightarrow \lnot (b \lt a)) }[/math]
完全性：[math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \neq b \rightarrow a \lt b \lor b \lt a) }[/math]

称关系 [math]\displaystyle{ \lt }[/math] 为一个严格全序(strict total order)。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]