同态核
| 核 | |
|---|---|
| 术语名称 | 核 |
| 英语名称 | kernel |
| 别名 | 同态核 |
定义
对群 [math]\displaystyle{ G,H }[/math] 及群同态 [math]\displaystyle{ \varphi:G\to H }[/math] ，有群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 中的幺元 [math]\displaystyle{ e_H }[/math] 的原像集 [math]\displaystyle{ \varphi^{-1}(e_H) = \{g\in G \mid \varphi(g)=e_H \} }[/math] ，称为群同态 [math]\displaystyle{ \varphi:G\to H }[/math] 的（同态）核(kernel)，记作 [math]\displaystyle{ \ker\varphi }[/math] 。
注：首先有 [math]\displaystyle{ \ker\varphi \subset G }[/math] 。
性质
核是一个子群。实际上，任意被映射到子群的原像集也都是子群。
核是一个正规子群。
同样地，正规子群也一定是某个群同态的核。
对群同态 [math]\displaystyle{ \varphi:G\to H }[/math] ，将任意群同态 [math]\displaystyle{ \alpha: K\to G }[/math] 中满足 [math]\displaystyle{ \varphi\circ\alpha }[/math] 是平凡同态的构成的范畴中，核是一个终对象。实际上，这是指核是群范畴中的核。
[math]\displaystyle{ e_G \in \ker \varphi }[/math] ，这是由于群同态必须把幺元映射到幺元。
单同态当且仅当 [math]\displaystyle{ \ker\varphi = \{e_G\} }[/math] 。