Burnside 引理
| 伯恩赛德引理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 伯恩赛德引理 |
| 英语名称 | Burnside's lemma |
| 别名 | 伯恩赛德计数定理, Burnside's counting theorem, 柯西–弗罗贝尼乌斯引理, Cauchy–Frobenius lemma, 轨道计数定理, orbit-counting theorem |
伯恩赛德引理(Burnside's lemma)是关于群作用中不同轨道数目的定理。
定理
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 在集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的作用，对任意元素 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] ，记其在群作用中的不动点集为 [math]\displaystyle{ X^g }[/math] ，则若将全部不同轨道的数目记作 [math]\displaystyle{ |X/G| }[/math] ，有
[math]\displaystyle{ |X/G|=\tfrac{1}{|G|} \sum_{g\in G} |X^g| }[/math]
或者说有双射
[math]\displaystyle{ G \times X/G \to \coprod_g\in G X^g }[/math]