第一同构定理
| 第一同构定理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 第一同构定理 |
| 英语名称 | first isomorphism theorem |
| 别名 | 基本同态定理, fundamental theorem on homomorphisms, fundamental homomorphism theorem, FHT |
第一同构定理(first isomorphism theorem)指群同态中，对同态核的商群与同态像同构。
定理
对群 [math]\displaystyle{ G, H }[/math] 及群同态 [math]\displaystyle{ \varphi: G\to H }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ G/\ker \varphi \cong \operatorname{im} \varphi }[/math] 。
- 如果是单射，有 [math]\displaystyle{ G \cong \operatorname{im} \varphi }[/math] ；
- 如果是满射，有 [math]\displaystyle{ G/\ker \varphi \cong H }[/math] 。
- 这里对应的群同构就是群同态的典范分解中间的双射。
性质
可以结合 Lagrange 定理 得到 [math]\displaystyle{ [G:\ker\varphi] = |\operatorname{im}\varphi| }[/math] 。