轨道-稳定子群定理
| 轨道-稳定子群定理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 轨道-稳定子群定理 |
| 英语名称 | orbit-stabilizer theorem |
| 别名 | 轨道-稳定化子定理, 轨道-迷向子群定理 |
轨道-稳定子群定理(orbit-stabilizer theorem)指传递的群作用中，任意元素的轨道与其中任意元素稳定子群的元素数之积等于群的阶。或者说，任意元素的轨道中元素数等于其稳定子群在群中的指数。
是 Lagrange 定理的推广。
引理
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 在集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的传递的群作用，对任意 [math]\displaystyle{ a \in A }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ H=\mathrm{Stab}_G(a) }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ G/H \to A; gH \mapsto ga }[/math] 是双射。
定理
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 在集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的群作用，对任意元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] ，其轨道 [math]\displaystyle{ O_G(a) }[/math] 和稳定子群 [math]\displaystyle{ \mathrm{Stab}_G(a) }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ |O_G(a)| |\mathrm{Stab}_G(a)| = |G| }[/math] 。
也表述为 [math]\displaystyle{ |O_G(a)| = |G : \mathrm{Stab}_G(a)| }[/math] 。
推论： [math]\displaystyle{ |O_G(a)| \big| |G| }[/math] 。