轮换类型

型
术语名称	型
英语名称	cycle type
别名	type, 轮换指标, cycle structure, cycle shape

排列的轮换类型(cycle type)/型(cycle)指排列中的各个构成轮换的轨道划分的大小。

定义

对排列 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，若将其表达为轮换的复合形式，并按轮换长度由大到小重新排列为 [math]\displaystyle{ \sigma=(a_1 a_2 \cdots a_{n_1})(b_1 b_2 \cdots b_{n_2}) \cdots (c_1 c_2 \cdots c_{n_k}) }[/math] ，则这些轮换的长度称为排列 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 的轮换类型/型(cycle type)，记作 [math]\displaystyle{ (n_1,n_2,\cdots,n_k) }[/math] 或 [math]\displaystyle{ [n_1,n_2,\cdots,n_k] }[/math] 。也有人将重数写在角标上，即 [math]\displaystyle{ [1^{\alpha_1} 2^{\alpha_2} \cdots n^{\alpha_n}] }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math] 是 [math]\displaystyle{ i }[/math]-轮换的个数。

注：不能省略 1-循环，每个不动的元素都会产生一个 1 。

性质

排列的奇偶性被分解为组成其轮换的奇偶性，通过轮换类型中每个轨道的长度可以知道轮换的奇偶性，进而可以知道这一类型排列的奇偶性。 简单地说，只有当类型中奇轮换（即偶数长度的轮换）总数为奇数个时，排列是奇排列。

对称群中，两排列共轭当且仅当其具有相同轮换类型。因此对称群中共轭类数量与可能的划分数量相同。 因此 [math]\displaystyle{ S_n }[/math] 中共轭类的数目应当与 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的可能划分数相同。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群