Lagrange 定理（群论）
| 拉格朗日定理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 拉格朗日定理 |
| 英语名称 | Lagrange's theorem |
| 指数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 指数 |
| 英语名称 | index |
拉格朗日定理(Lagrange's theorem)是关于群中群大小（群的阶）、子群大小（子群的阶）、所划分的陪集数（子群的指数）之间关系的定理。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 和子群 [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] ，有左陪集空间 [math]\displaystyle{ G/H^l = \{gH \mid g\in G \} }[/math] ，称其势为子群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 在群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的指数(index of [math]\displaystyle{ H }[/math] in [math]\displaystyle{ G }[/math] )，记作 [math]\displaystyle{ [G:H] }[/math] 。
注：也有人记作 [math]\displaystyle{ |G:H| }[/math] 。
引理
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 和子群 [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] 以及任意元素 [math]\displaystyle{ g \in G }[/math] ，子群到陪集的映射 [math]\displaystyle{ H \to gH, h \mapsto gh }[/math] 以及 [math]\displaystyle{ H \to Hg, h \mapsto hg }[/math] 一定是双射。因此，每个陪集总有相同的势。
由于左陪集空间同时是一个划分，可以按照其中元素的情况得到以下定理。
定理
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 和子群 [math]\displaystyle{ H }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ |G| = [G:H] |H| }[/math] 。
注：其中的三个数 [math]\displaystyle{ |G| }[/math] 、 [math]\displaystyle{ |H| }[/math] 、 [math]\displaystyle{ [G:H] }[/math] 都是集合的基数，可能存在超限基数。 对于有限群，可以认为 [math]\displaystyle{ [G:H] = |G|/|H| }[/math] 。因此记号使用了类似相除的记号。对于无限群，右侧两个至少有一个无限；即使子群也是无限集，也只能说指数是一个非零序数，因为其可能是有限的也可能是无限的。
推论
对 [math]\displaystyle{ H\leq G }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ |H| \big| |G| }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \big| }[/math] 代表整除关系。
注：逆命题不成立，任意因数不都一定存在对应阶数的子群。实际上也推不出 Cauchy 定理，即其质因数总存在对应阶子群。
性质
若 [math]\displaystyle{ K\leq H\leq G }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ [G:K] = [G:H] [H:K] }[/math] （扩展 Lagrange 定理(extension of Lagrange's theorem)）。
若 [math]\displaystyle{ H, K \leq G }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ [G:H\cap K] \leq [G:H] [H:K] }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ [H:H\cap K] \leq [G:K] }[/math]。
质数阶群一定只有平凡子群，其中幺元以外的元素生成的子群一定是其本身，因此是循环群，同构于模 n 剩余类加法群。