弱序

弱序
术语名称	弱序
英语名称	weak ordering

弱序集
术语名称	弱序集
英语名称	weakly ordered set

弱序(weak ordering)指集合上的一个二元关系是一个完全的预序，或者说同时是自反关系、传递关系、完全关系。 元素间存在弱序关系的集合称为弱序集(weakly ordered set)。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] ，如果是一个预序、且有完全性，即满足：

• 自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (a \precsim a) }[/math] ；
• 传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \precsim b \land b \precsim c \rightarrow a \precsim c) }[/math] ；
• 完全性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \precsim b \lor b \precsim a) }[/math] 。

称关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] 为一个弱序(weak order)。 并称带有弱序关系的集合 [math]\displaystyle{ (P, \precsim) }[/math] 为弱序集(weakly ordered set)。

根据使用者的习惯，若序中的关系通常会使用符号 [math]\displaystyle{ \preceq,\precsim,\leq }[/math] 之一。

全序划分定义

以下定义与上述定义等价。

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] ，若存在其一个划分 [math]\displaystyle{ \mathcal{P} = \{P_1, P_2, \dots\} }[/math] 上的全序 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] ， 使得 [math]\displaystyle{ (\forall p_1 \in P_1) (\forall p_2 \in P_2) (p_1 \precsim p_2 \leftrightarrow P_1 \leq P_2) }[/math] ，则称关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] 为一个弱序(weak order)。

关系图特征

• 弱序中相互成立关系的元素构成等价关系，每个等价类在关系图中表现为一个团。
• 团之间是一个全序，也就是说集合被分为多个团，每个团是一个层次，每个层次中任意元素向更高层次中任意元素都存在单向边。

性质

• 基本特征
  • 弱序是自反、传递且完全的二元关系
• 运算性质：
  • 弱序的交不一定是弱序
  • 弱序的并不一定是弱序
  • 弱序的复合仍是弱序
• 弱序集中的特殊元素
  • 弱序集中可能存在极大元、极小元和最大元、最小元。均可能不唯一，是一个等价类中全体元素。
• 构造方法
  • 等价关系和全序的复合是弱序。

关联

• 弱序是完全关系的预序。
• 若一个弱序是对称关系，则其是全关系。
• 弱序进行对称闭包会得到全关系。
• 每个弱序都可以诱导一个等价关系：定义 [math]\displaystyle{ x \sim y }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ x \precsim y \land y \precsim x }[/math] 。
  • 这个等价关系将弱序集划分为等价类。
  • 在等价类集合上，弱序诱导一个全序（这一点预序集仅能保证偏序）。
• 若一个预序是反对称关系，则其是全序。也就是不允许两个元素双方向成立关系，此时关系图中的团被消除，每个团只能是单个结点，成为一条链。
  • 弱序在等价类上诱导一个全序， 就是弱序在诱导出的等价关系下的商集。
• 每个弱序都可以诱导一个严格弱序：定义 [math]\displaystyle{ x \prec y }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ x \precsim y \land y \not\precsim x }[/math] 。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全