严格弱序

严格弱序
术语名称	严格弱序
英语名称	strict weak ordering

严格弱序集
术语名称	严格弱序集
英语名称	strictly weakly ordered set

严格弱序(strict weak ordering)指集合上的一个二元关系是一个严格预序，且其构成的不可比关系传递。或者说同时是反自反关系、传递关系，且不可比关系也是传递关系。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \prec }[/math] ，如果是一个反自反关系、传递关系，且不可比关系满足传递性，即满足：

• 反自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (\lnot(a \prec a)) }[/math] ；
• 传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \prec b \land b \prec c \rightarrow a \prec c) }[/math] ；
• 不可比的传递性：[math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (\lnot(a \prec b \lor b\prec a) \land \lnot(b\prec c \lor c\prec b) \rightarrow \lnot(a\prec c \lor c\prec a)) }[/math] 。

称关系 [math]\displaystyle{ \prec }[/math] 为一个严格弱序(strict weak order)。 并称带有严格弱序关系的集合 [math]\displaystyle{ (P, \prec) }[/math] 为严格弱序集(strictly weakly ordered set)。

全序划分定义

以下定义与上述定义等价。

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] 若满足，若存在其一个划分 [math]\displaystyle{ \mathcal{P} = \{P_1, P_2, \dots\} }[/math] 上的严格全序 [math]\displaystyle{ \lt }[/math] ， 使得 [math]\displaystyle{ (\forall p_1 \in P_1) (\forall p_2 \in P_2) (p_1 \prec p_2 \leftrightarrow (P_1 \lt P_2)) }[/math] ，则称关系 [math]\displaystyle{ \prec }[/math] 为一个严格弱序(strict weak order)。

关系图特征

• 不可比关系天然是对称关系，在反自反关系中是自反关系，再满足传递性后即构成等价关系。每个等价类在关系图中表现为一个层次，层内任意两个结点间都不存在边。
• 层与层之间是一个严格全序，也就是说集合被分为多个层后，每个层次中的任意元素向更高层次中任意元素都存在单向边。

性质

• 基本特征
  • 严格弱序是反自反、传递且不可比关系传递的二元关系。
  • 严格弱序一定是不对称关系。
• 运算性质
  • 严格弱序的交仍是严格弱序；
  • 严格弱序的并不一定是严格弱序；
  • 严格弱序的复合不一定是严格弱序。
• 严格弱序集中的特殊元素
  • 严格弱序集中可能存在极大元、极小元和最大元、最小元。若存在最大元或最小元，则唯一。
• 构造方法
  • 等价关系和严格全序的复合是严格弱序。

关联

• 严格弱序是不等关系传递的严格预序。
• 严格弱序和弱序可以相互转换
  • 每个弱序都可以诱导一个严格弱序：定义 [math]\displaystyle{ x \prec y }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ x \precsim y \land y \not\precsim x }[/math] 。
  • 每个严格弱序都可以诱导一个弱序：定义 [math]\displaystyle{ x\precsim y }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ y \not\precsim x }[/math] 。
• 每个严格弱序都可以诱导一个等价关系：定义 [math]\displaystyle{ x\sim y }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ x \nprec y }[/math] 且 [math]\displaystyle{ y \nprec x }[/math] 。
  • 这个等价关系将集合划分为等价类。
  • 在等价类集合上，严格弱序诱导一个严格全序。
  • 严格弱序在等价类上诱导严格全序，是严格弱序集在这一等价关系下的商集。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全