| 有限生成群
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| 术语名称
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有限生成群
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| 英语名称
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finitely generated group
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| 生成子群
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| 术语名称
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生成子群
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| 英语名称
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generated subgroup
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| 生成元
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| 术语名称
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生成元
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| 英语名称
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generator
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| 生成集
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| 术语名称
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生成集
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| 英语名称
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generating set
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有限生成群(finitely generated group)是指一个群被几个元素生成。或者说，群中所有元素都可以看成某几个元素（生成元）及其逆元运算不断运算得到。
也表达为有限生成群是几个循环群的直积。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及有限个元素 [math]\displaystyle{ g_1, g_2, \dots, g_k\in G }[/math] ，其生成的群 [math]\displaystyle{ \langle g_1, g_2, \dots, g_n \rangle = \{g^k \mid k \in \mathbb{Z}\} }[/math] 是 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的子群，称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的一个 [math]\displaystyle{ g_1, g_2, \dots, g_k\in G }[/math] 的生成子群(generated subgroup)，若存在群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的有限元素的生成子群是 [math]\displaystyle{ G }[/math] 自身，则称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是一个有限生成群(definitely generated group)，此时称元素 [math]\displaystyle{ g_1, g_2, \dots, g_k }[/math] 生成(generate)这个群，并称元素 [math]\displaystyle{ g_1, g_2, \dots, g_k }[/math] 为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的一组生成元(generators)，集合 [math]\displaystyle{ \{g_1, g_2, \dots, g_k\} }[/math] 为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的一个生成集(generating set)。
特别地，元素个数为 1 时，相当于循环群中的对应定义。
