群-集合范畴
| G-集范畴 | |
|---|---|
| 术语名称 | G-集范畴 |
| 英语名称 | category of G-sets |
本条目没有一致可信的中文译名。
G-集范畴(category G-sets)指研究群作用时，一个群的所有群作用（以及其作用在的集合）构成的范畴。 名称中 G 代表群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，如果群使用其他字母可以随之变更。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，有以下范畴：
- 对象：任意集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] 以及 [math]\displaystyle{ G }[/math] 在 [math]\displaystyle{ S }[/math] 上的群作用 [math]\displaystyle{ \rho: G\times S \to S }[/math] 所构成的 [math]\displaystyle{ G }[/math]-集( [math]\displaystyle{ G }[/math]-set)。
- 映射：对象 [math]\displaystyle{ \rho_S: G\times S \to S }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \rho_T: G\times T \to T }[/math] 之间的态射是群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的等变映射 [math]\displaystyle{ \varphi: S\to T }[/math] 。这一映射满足 [math]\displaystyle{ (\forall g \in G)(\forall s \in S) (\varphi(\rho_S(g,s)) = \rho_T(g,\varphi(s))) }[/math] ，或者说下图可交换：
[math]\displaystyle{ \begin{array}{rcl} G\times S & \xrightarrow{1_G \times \varphi} & G \times T \\ {\tiny \rho_S} \downarrow & & \downarrow {\tiny \rho_T} \\ S & \xrightarrow{\varphi} & T \\ \end{array} }[/math] 称为 [math]\displaystyle{ G }[/math]-集范畴(category of [math]\displaystyle{ G }[/math]-sets)，记作 [math]\displaystyle{ G-\mathbf{Set} }[/math] 。