严格全序

严格全序
术语名称	严格全序
英语名称	strict total order

严格全序集
术语名称	严格全序集
英语名称	strictly totally ordered set

严格全序(strict total order)，指集合上的一个二元关系是拟序，且同时对任意两个不同元素总有一种排列使其有关系。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \lt }[/math] ，如果是一个拟序、且有完全性，即满足：

• 反自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (\lnot(a \lt a)) }[/math]
• 传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \lt b \land b \lt c \rightarrow a \lt c) }[/math]
• 完全性（弱连通性）：[math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \neq b \rightarrow a \lt b \lor b \lt a) }[/math]

称关系 [math]\displaystyle{ \lt }[/math] 为一个严格全序(strict total order)。 并称带有严格全序关系的集合 [math]\displaystyle{ (P, \lt ) }[/math] 为严格全序集(strictly totally ordered set)。

注：完全性也被称为连通性或弱连通性，在于严格全序中，元素不再和自身成立关系。在有的定义中，完全性被三歧性代替。

关系图特征

全部结点间构成一条链，链中任意结点存在到链方向全部结点的单向边，图中所有的边都指向这一方向的其他结点。

性质

• 基本特征
  • 严格全序是反自反、传递且满足（弱）完全性的二元关系。
  • 严格全序一定是不对称关系： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \lt b \rightarrow \lnot (b \lt a)) }[/math] 。
  • 不对称性和完全性可以推出三歧性：对任意两个元素 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] ，三个关系 [math]\displaystyle{ x\lt y }[/math] 、 [math]\displaystyle{ x=y }[/math] 、 [math]\displaystyle{ y\lt x }[/math] 必有且仅有一个成立。
• 运算性质
  • 严格全序的交不一定是严格全序；
  • 严格全序的并不一定是严格全序；
  • 严格全序的复合不一定是严格全序。
• 严格全序集中的特殊元素
  • 严格全序中的极大元、极小元与最大元、最小元等价。
  • 最大元、最小元如果存在则唯一。
  • 上确界、下确界如果存在则唯一。

关联

• 全序和严格全序对应，可以相互转换
  • 每个全序都可以诱导一个严格全序：定义 [math]\displaystyle{ x\lt y }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ x\leq y \land x\neq y }[/math] 。
  • 每个严格全序都可以诱导一个全序：定义 [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ x\lt y \lor x=y }[/math] 。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全