环第一同构定理
| 第一同构定理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 第一同构定理 |
| 英语名称 | first isomorphism theorem |
| 别名 | 基本同态定理, fundamental theorem on homomorphisms, fundamental homomorphism theorem, FHT |
环的第一同构定理(first isomorphism theorem)指环同态中，对环同态核的商群与环同态像同构。在加法群上与群的第一同构定理相应。
定理
对群 [math]\displaystyle{ R, S }[/math] 及环同态 [math]\displaystyle{ \varphi: R\to S }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ R/\ker \varphi \cong \operatorname{im} \varphi }[/math] 。
- 如果是单射，有 [math]\displaystyle{ R \cong \operatorname{im} \varphi }[/math] ；
- 如果是满射，有 [math]\displaystyle{ R/\ker \varphi \cong S }[/math] 。
- 这里对应的环同构就是环同态的典范分解中间的双射。