群内自同构
| 内自同构 | |
|---|---|
| 术语名称 | 内自同构 |
| 英语名称 | inner automorphism |
内自同构(inner automorphism)指群中共轭运算构成的自同构。群上全体内自同构构成内自同构群(inner automorphism group)。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及元素 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] ，有将把每个元素映射到其关于 [math]\displaystyle{ g }[/math] 的共轭元素的映射，记为 [math]\displaystyle{ \iota_g: G\to G; a \to gag^{-1} }[/math] ，则其是群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的一个自同构，称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的一个内自同构(inner automorphism)。
性质
内自同构群
| 内自同构群 | |
|---|---|
| 对象名称 | 内自同构群 |
| 对象记号 | [math]\displaystyle{ \mathrm{Inn}(\bullet) }[/math] |
| Latex | \mathrm{Inn}()
|
| 对象类别 | 群 |
群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 上所有的内自同构关于同构（映射）的复合运算构成一个群，称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的内自同构群，记作 [math]\displaystyle{ \mathrm{Inn}(G) }[/math] 。
内自同构群 [math]\displaystyle{ \mathrm{Inn}(G) }[/math] 是自同构群 [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}(G) }[/math] 的正规子群。
性质
内自同构群当且仅当是平凡群时，构成循环群；当且仅当此时构成交换群。
内自同构群中的元素把每个正规子群映射到正规子群，且只把正规子群映射到正规子群。